葛立恒数的尾数

定义数列 $f_n = 3\char`\^{f_{n-1}}$ , $f_0 = 3$

我们有 $f(1)=3^3 = 9$ , $f(2) = 3^{3^3}= 7625597484987$ , f(3) 的话就写不出来了.

现假设 $f_n = f_{n-1} \pmod {10^{n-1}}$

当 $n = 2$ 时有:

$f_2 \pmod {10} = f_1 \pmod {10} = 7$

假设成立

当 $n=k+1$ 时有:

$$\begin{aligned} f_{k+1} &= 3^{f_k}\\ &= 3^{f_{k-1}+k\cdot10^{k-1}}\\ &= 3^{f_{k-1}}×3^{k\cdot10^{k-1}}\\ &= f_k×3^{k\cdot10^{k-1}}\\ \end{aligne$$

欧拉定理指出，若 $n$ ,$a$ 为正整数，且两数互素($\gcd(a,n)=1$ )，则
$\displaystyle{a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n}$

令 $a \leftarrow 3$ , $n \leftarrow 10^{n-1}$ :

$$ 3^{\varphi(10^{n-1})}=3^{10^{n-1}} \equiv 1 \pmod {10^{n-1}}$$

观测

计算辐射出的熵把整个宇宙蒸的热寂了,

计算是不需要消耗任何能量的, 观测才要消耗能量.

指定任意, 只需要付出结果 kT

\ln2{}

不管怎么说 葛立恒数 只是 I 类大数, I 类大数都是可计算数

II 类大数大多是不可计算数, 那才玩完了...