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n ! 能否是完全平方数

根据Bertrand's postulate（虽然叫postulate但是实际上是一个已经证明的定理），对任意大于2的正整数n，n/2和n之间存在一个素数p。在n的阶乘中，素因子p一定仅出现1次。因此n的阶乘不是完全平方数。
对于$p^m\ ||\ n!$ （$p^{m}\ |\ n!$ 且$p^{m+1}\ \not\mid\ n!$ ），有如下公式：

$m=pot_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}{\left[ \frac{n}{p^k}\right]}$

实际上我们只要证明：不超过$n>1$ ，但离$n$ 最近的质数，其最大指数一定是$1$ ，即需证

$\sum_{k=1}^{\infty}{\left[ \frac{n}{p^k}\right]}=1$

即证

$\left[ \frac{n}{p^k} \right]=\begin{cases} 1&k=1\\ 0& k>1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow$

$1=\frac{p}{p}\leq \frac{n}{p}< \frac{2p}{p}=2$

$\Leftrightarrow$

$p\leq n< 2p$

证明：分两种情况：

若$n \in \mathbb{P}$ ，则命题显然；

若$n \ \bar \in \ \mathbb{P}$ ，命$p=\max\left\{ q\in \mathbb{P}\ \ |\ \ q

现在只需证明$n<2p$ 即可。若不然，则$\exists \ p^*$ 满足

$p

成立原因是伯特兰假设。如此一来，$p^*$ 的出现与$p$ 的极大性相矛盾. 所以大于1的阶乘皆非完全平方数.

$Q. E. D$

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下面我列出 20 以内阶乘的质因数分解式（除 1 外）：

$2!=2$

$3!=2\cdot 3$

$4!=2^3\cdot3$

$5!=2^3\cdot3\cdot5$

$6!=2^4\cdot3^2\cdot5$

$7!=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7$

$8!=2^7\cdot3^2\cdot5\cdot7$

$9!=2^7\cdot3^4\cdot5\cdot7$

$10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$

$11!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7\cdot11$

$12!=2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7\cdot11$

$13!=2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13$

$14!=2^{11}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7^2\cdot11\cdot13$

$15!=2^{11}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13$

$16!=2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13$

$17!=2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17$

$18!=2^{16}\cdot3^8\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17$

$19!=2^{16}\cdot3^8\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19$

$20!=2^{18}\cdot3^8\cdot5^4\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19$

容易发现分解式中的最后一个质数的指数总是 1，更进一步，只要满足$p\leq n<2p$ 的质数，其指数也总是 1.