这个题其实相当显然, 因为:

$$\begin{aligned} f=&\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \\ =&\frac{3}{2} + \frac{1}{2} \left(\frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}\right)\\ \geq &\frac32\qquad \mathtt{quiet\ easily\ done!} \end{aligned}$$

角豆麻袋, 什么情况, 不要使用禁咒 $\cdot$ 陈计配凑, 好吗!

你能不能按照高考考纲以及高考给分要求来啊?

说的是呢, 其实也不是很难, 换个元更清晰.

解: 设 $a+b:=x,b+c:=y,c+a:=z$ .

$$\begin{aligned} 2f=&2 \left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\\ =&\dfrac{a+a}{y}+\dfrac{b+b}{z}+\dfrac{c+c}{x}\\ =&\dfrac{z-c+x-b}{y}+\dfrac{x-a+y-c}{z}+\dfrac{y-b+z-a}{x}\\ =&\dfrac{z+x-y}{y}+\dfrac{x+y-z}{z}+\dfrac{y+z-x}{x}\\ =&\underbrace{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}_{\geq 2}+\underbrace{\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}}_{\geq 2}+\underbrace{\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}}_{\geq 2}-3 \\ \geq &3 \qquad\mathtt{Q.E.D} \end{aligned}$$

答: 由是观之, $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac32$ .

很自然的想到, 是不是能有:

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}} \geq \frac{n}{2}$$

n=3是个很有名的情形, Nesbitt's_inequality,有十几种证明, $n=4$ 还可以通过观察法凑配, $n=5,6$ 要借助凸性构造Jensen不等式, 接下来难度开始爆炸, 各种玄妙的操作...

最后.......


很不幸, 这不是恒成立的, 当n=14时崩坏了...

Troesch 给出了一个反例:

$$x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)$$

$$\sum_{cyc}^{x_{14}}\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}=\frac{202566829}{28938140}\approx6.999999<\frac{14}{2}$$

var={0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40};
#1/(#2+#3)&@@@Partition[var,3,1,1]//Total

哇, 有毒啊, 构造大丈夫....
事实上这个不等式只对 $n=3\sim14,15,17,19,21,23$ 成立.

Shapiro inequality is an inequality proposed by H. Shapiro in 1954.

借助一些分析学手段发现可以打个补丁修正这个不等式:

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}} \geq \frac{\gamma}{2}n$$

$\gamma$$y_1(x)=e^{-x}$$y_2(x)=\dfrac{2}{e^{x/2}+e^x}$ 的函数凸包的根...

FunctionConvexHull
The convex hull of two or more functions is the largest function that is concave from above and does not exceed the given functions.

我也不知道函数凸包是什么鬼, 描述和下面的计算完全对不上......

具体来说就是下列方程的实根:

$$x+\frac{1}{2 e^{x/2}+1}=\log \left(\frac{4 e^x}{2 e^{x/2}+1}\cosh ^2\left(\frac{x}{4}\right)\right)$$

就一个, 代入下面这个式子里...

$$\gamma=\frac{1}{4} \left(2 e^{-\frac{x}{2}} (x+1)+e^{-x} (x+2)\right) \text{sech}^2\left(\frac{x}{4}\right)$$

eq=1/(1 + 2*E^(x/2)) + x == Log[(4*E^x*Cosh[x/4]^2)/(1 + 2*E^(x/2))];
r=FindRoot[eq, {x, -1},WorkingPrecision->50];
(1/4)*Sech[x/4]^2*((2 + x)/E^x + (2*(1 + x))/E^(x/2)) /.r

>>0.98913363444699305224349030826633798138034809804418

http://www.turgor.ru/lktg/2010/5/5-1en.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Shapiro_inequality
http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Nesbitt%27s_inequality